ANGEWANDTE ALGEBRA UND GEOMETRIE

Was ist Algebra?

Das Addieren ganzer Zahlen (...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...) und das Aneinanderhängen von Texten/Textstücken beim Erstellen eines Dokumentes mit einem Texteditor besitzen als Operationen betrachtet Gemeinsamkeiten: Für die Addition beliebiger ganzer Zahlen a,b,c gilt zum Beispiel das Assoziativgesetz (a+b)+c=a+(b+c). Man kann zunächst die Summe der Zahlen a und b bilden und zu dieser c addieren und erhält das gleiche Resultat, wie bei der Addition von a zur Summe von b und c.
An einen Text T lässt sich ein Text S anhängen. Bezeichnet man den entstehenden Text mit T#S, so gilt für diese Operation ebenfalls das Assoziativgesetz (T#S)#R=T#(S#R). Der ganzen Zahl 0 entspricht der Text O, der keine Zeichen umfasst; man »sieht« ihn nach dem Start eines Texteditors im Arbeitsbereich. Er besitzt die Eigenschaften T#O=T und O#T=T, wobei T ein beliebiger Text ist, verhält sich also tatsächlich wie die Zahl 0 beim Addieren.
Zwischen der Addition und dem Aneinanderhängen gibt es jedoch auch wesentliche Unterschiede: Bei der Summenbildung kommt es nicht auf die Reihenfolge an, es gilt das Kommutativgesetz a+b=b+a. Offensichtlich sind aber die Texte T#S und S#T nicht gleich, wenn die Texte T und S Zeichen enthalten und verschieden sind.

Die Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem die Eigenschaften von (Rechen-)Operationen wie + und # und daraus sich ergebende allgemeine Gesetzmäßigkeiten systematisch untersucht werden. Die erhaltenen Ergebnisse besitzen einerseits als wissenschaftlicher Erkenntnisgewinn eine Bedeutung und können andererseits direkt angewendet werden.

Schlüsseltausch in der Kryptographie

In der modernen Kryptographie werden als Gruppen mit komplexer Gruppenoperation elliptische Kurven verwendet. Hierbei handelt es sich um Kurven, die durch eine Polynomgleichung mit zwei Variablen und vom Grad 3 gegeben sind. Mit den Punkten auf einer solchen Kurve kann man rechnen, wobei die Rechenvorschrift geometrisch definiert ist.

Mehr zum Thema Elliptische Kurven.

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