WAHLBEREICH ANGEWANDTE ALGEBRA UND GEOMETRIE

Angewandte Algebra und Geometrie

Rechnen kann man nicht nur mit Zahlen oder Vektoren, sondern auch mit Punkten, die auf Kurven einer bestimmten Art liegen: In der Animation rechts ist in Rot die Menge E aller Punkte \( P=(x,y)\) in der Ebene dargestellt, deren Koordinaten die Gleichung

\( y^2=(x+2)(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{10})\)

erfüllen. Sind P und Q zwei Punkte dieser Kurve, deren x-Koordinaten verschieden sind, so schneidet die Gerade durch P und Q die Kurve in einem dritten Punkt und es gibt keine weiteren Schnittpunkte von Kurve und Gerade. Diese Beobachtung macht man sich zunutze um eine Rechenoperation mit den Punkten von E zu definieren: man bildet die Summe R=P+Q zweier Punkte, indem man den Schnitt der Geraden durch P und Q an der x-Achse spiegelt. Der Punkt R ist wegen der Achsensymmetrie von E dann selbst ein Kurvenpunkt. In der Animation wird die als grüner Punkt erscheinende Summe R für P=(-2,0) und variierendes Q, beide in blau, dargestellt.

Offensichtlich gilt für diese Art der Addition von Punkten das vom Rechnen mit Zahlen bekannte Kommutativgesetz P+Q=Q+P,.Es ist jedoch erstaunlich und nicht einfach zu beweisen, dass auch das Assoziativgesetz (P+Q)+R=P+(Q+R) für die Addition dreier Punkte stets erfüllt ist. Was dieses Gesetz geometrisch bedeutet, kann man an der zweiten, rechts zu sehenden Grafik nachvollziehen.