WAHLPFLICHTBEREICH MODELLIERUNG MECHANISCHER UND DYNAMISCHER SYSTEME

Modellierung mechanischer Strukturen

Ein typisches Beispiel für die Art der Probleme um die es in dieser Vertiefungsrichung geht, ist die Optimierung eines Flugzeugflügels in Bezug auf seine Belastbarkeit: Einerseits können hierzu seine Form und die zum Bau verwendeten Materialien variiert werden, andererseits sind dabei aber Größen wie sein Gewicht zu berücksichtigen. Ziel der Optimierung ist etwa die Rissbildung aufgrund von Materialermüdung zu verringern.
Allgemein besteht die Modellierung einer mechanischen Struktur aus zwei Arbeitsschritten:

  • Aufstellung eines mathematischen Modell, welches die Zusammenhänge in dem vorliegenden mechanischen System beschreibt
  • Analyse des erstellten Modells - Herleitung und Berechnung von Lösungen mit Hilfe geeigneter analytischer und numerischer Verfahren

Mechanische Systeme und Strukturen werden je nach der technischen Fragestellung durch Gesetze der

  • Mechanik starrer Körper – Massepunkte und nicht deformierbare Körper
  • Kontinuumsmechanik – deformierbare Körper, innere Verschiebungen und Spannungen in Körpern beschrieben

Als Beispiel eines Systems von Starrkörpern kann man die verschiedenen Bauteile eines PKW-Bremssystems wie Bremsbeläge, Kolben und Bremssattel, die durch Federn und Dämpfer verbunden sind, nennen. Bei den kontinuumsmechanischen Anwendungen geht es oft um das Design von Produkten mit dem Ziel bestimmte Eigenschaften zu erreichen, oder um eine Simulation von bestehenden Produkten und Prozessen, um ihre Lebensdauer oder Festigkeit zu analysieren. Beispielsweise werden hier verschiedene Autoteile in Bezug auf ihre Form/Auslegung oder das Baumaterial optimiert, so dass sie typischen Belastungen wie etwa bei Unfällen widerstehen können. Auch Verformungen eines menschlichen Körpers werden durch kontinuumsmechanische Modelle beschrieben; solche Modelle werden zum Beispiel in der Medizin, der plastischen Chirurgie, und bei der Entwicklung von Autositzen oder Sportbekleidung verwendet. Biomechanische Modelle finden aktuell zunehmende Anwendung.

Obwohl die genannten mechanischen Systeme sehr unterschiedlich sind, werden für deren Modellierung und Analyse ähnliche mathematische Methoden verwendet, nämlich unter anderem gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen. Entsprechend werden den Absolventen der Vertiefung „Modellierung mechanischer Strukturen“ analytische und numerische Verfahren aus diesen Bereichen vermittelt, um die genannten Systeme analysieren und simulieren zu können. Weiter werden auch Grundlagen der Mechanik dargestellt, um den Studierenden einen Überblick über das Modellieren verschiedener physikalischer Systeme zu verschaffen. Insgesamt sollen die Absolventen der Vertiefungsrichtung in der Lage sein, für eine bestimmte mit einer mechanischen Struktur zusammenhängende Fragestellung ein mathematisches Modell aufzustellen, begründet einen analytischen oder numerischen Lösungsansatz zu wählen, und diesen mit Hilfe von fertigen Softwarepaketen oder selbst entwickelten Programmen umzusetzen und die erzielten Ergebnisse zu analysieren.

Die erworbenen Qualifikationen ermöglichen den Absolventen Tätigkeiten in verschiedenen Bereichen: Automobilbau, Maschinenbau, Luftfahrttechnik, Anlagentechnik, chemische Industrie, Textilindustrie, Schienenfahrzeugbau, Filterbau, Medizinsektor. Da moderne technische Systeme immer komplexer werden, werden für deren Entwicklung und Analyse Spezialisten gesucht, die einen anspruchsvollen mathematischen Apparat beherrschen.

Dynamische Systeme

Ein dynamisches System ist ein Ausschnitt der Wirklichkeit, dessen zeitlichen Verlauf man studieren will. Beispiele:

  • Mechanische Systeme: Maschinen, Roboter, Satelliten, Fahrzeuge
  • Elektrodynamische Systeme: Schaltkreise, Computer, Autoelektronik, Quantengatter
  • Biologische Systeme: Zellkulturen, Körperorgane, Tierpopulationen, Ökosysteme
  • Wirtschaftliche Systeme: Produktionsprozesse, logistische Abläufe, Märkte, Volkswirtschaften

Man ist daran interessiert, wie sich das Verhalten solcher Systeme mit der Zeit ändert. Diese zeitliche Entwicklung wird mathematisch typischerweise durch Differenzen- und Differentialgleichungen beschrieben. Die Theorie dynamischer Systeme interessiert sich aber nicht so sehr für die numerische Berechnung dieser zeitlichen Entwicklung, sondern eher für qualitative Aspekte.


Qualitatives Systemverhalten: Treten Gleichgewichtslagen auf? (Marktgleichgewichte, ökologische Gleichgewichte) Sind diese stabil oder instabil? Gibt es periodische Lösungen? (Schwingungen, Populations- oder Konjunkturzyklen) Wird das Systemverhalten chaotisch? Sind Aussagen über die langfristige Entwicklung des Systems möglich?

Abhängigkeit von Systemparametern: Wie sensitiv hängt das Systemverhalten von Parameterwerten ab? (Reibungskoeffizienten, Körpertemperatur, pH-Wert, Leitzins) Wie kann man zunächst unbekannte numerische Werte von Parametern aus Messungen im System schätzen? Bei welchen kritischen Parameterwerten ändert sich das Systemverhalten qualitativ? (Ablösen eines Materials, „Umkippen“ eines Ökosystems)

Steuerung von Systemen: Wie kann man durch äußere Einwirkungen ein System in gewünschter Weise beeinflussen? (Drehen eines Satelliten durch Aktivierung von Schwungrädern und Gasdüsen, Optimierung eines chemischen Prozesses durch Einstellung von Temperaturen, Drücken und Stoffkonzentrationen, Steuerung von Fischbeständen durch Festsetzung von Fangquoten, Steuerung der Entwicklung eines Unternehmens durch Investitionsentscheidungen) Wie kann man die gewünschten Effekte in optimaler Weise erzielen? (Also etwa in kürzester Zeit, mit minimalem Energieverbrauch oder mit maximalem Gewinn.)

Diese Fragestellungen sind in vielen Branchen von großer Wichtigkeit: Luft- und Raumfahrt, Elektroindustrie, Maschinenbau, verarbeitende Industrie, chemische und pharmazeutische Industrie, Medizin, Umweltbehörden, Logistik und Kommunikation, Investitionsplanung, Finanzaufsichtsbehörden usw.